Kartezyen Çarpim - KÜmeler - Mantik İŞlemlerİ

Kartezyen Çarpim - KÜmeler - Mantik İŞlemlerİ

KARTEZYEN ÇARPIM
Tanım: x ve y elemanlarının, sırası önemli olmak kaydıyla oluşturdukları
(x Ş1.bileşen, y Ş2. Bileşen) elemanına sıralı ikili denir.

Örnek: 3 ile 15 arasındaki tam sayılar için asal sayı, çift sayı şeklindeki bazı sıralı ikilileri yazınız.
Asal sayı = {5,7,11,13}
Çift sayı = {4,6,8,10,12,14}
(5,4), (5,6), (7,10), (7, 4), ...
Tanım: (a, b) ve (c, d) ikilileri birbirine eşitse a ile c, b ile d birbirine eşittir ki, buna ikililerin eşitliği denir.
Yani; (a, b) = (c, d) Û a = c ve b = d’ dir.
Tanım:A ve B boş olmayan kümeleri için: 1. Bileşeni A’ dan 2. Bileşeni B’ den alınarak oluşturulan bütün ikililer kümesine AxB kartezyen çarpım kümesi denir.
AxB = {(x,y) ; x є A ve y є}
KARTEZYEN ÇARPIMIN ELEMAN SAYISI
S(AxB)=s(BxA)=s(A).s(B)
S(AxA)=s(A).s(A)={s(A)}2
KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELL
İĞİ
AxB¹BxA (Değişme özelliği yok)
Ax(BXC)=(AXB)XC (Birleşme özelliği)
AX(BUC)=(AXB)U(AXC)
AX(B∩C)=(AXB)∩(AXC)
Axø=øXA=ø
AXB=øÛA=ø veya B=ø’ dir.

============================== ===

A=ía,b,cı s(A)=3
Alfabenin ilk 3 harfi
Boş Küme:Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Æ veya íı şeklinde gösterilir.

SÌNÌZÌQ QÈI=R
Sonlu Küme: Elemanları sayılabilen kümelerdir.
Sonsuz Küme: Elemanları sayılamayan kümelerdir.
Alt Küme:Bir A kümesinin her bir elemanı bir B kümesinin de elemanı ise A, B’ nin alt kümesidir.
A Ì B B kapsar A
¯ A, B’ nin alt kümesidir.
Kapsar
Alt Küme Sayısı:n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n’ dir.
Özalt Küme: Bir A kümesinin alt kümelerinden kendisinin çıkarılmasıyla oluşan kümelere denir.
nelemanlı bir kümenin özalt kümelerinin sayısı 2n –1’ dir.
ALT KÜMEN
İN ÖZELLİKLERİ
Bir A kümesi için Æ Ì A’ dır. Ş Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Bir A kümesi için A Ì A’ dır Ş Her küme kendisinin alt kümesidir.
A Ì B ve B Ì A Û A = B
A Ì B ve B Ì C Û A Ì C
íÆıŞÆ, íÆı
ÆŞÆ

Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılabilen kümeleri kapsayan kümeye denir. “ E ” harfi ile gösterilir.
Tümleme: Bir E evrensel kümesi verilsin. E içinde bir A kümesi olsun. E’ nin içinde olup
A’ nın dışında kalan elemanların kümesine A’ nın tümleyeni denir ve A¢ ile gösterilir.
E
A¢
s(A) + s(A¢) = s(E)

TÜMLEMEN
İN ÖZELLİKLERİ
( A¢ )¢ = A 5. AÈE = E
E¢ = Æ 6. AÇA¢ = Æ
Æ¢ = E 7. AÈA¢ = E
AÇE = A 8. AÌB Ş B¢ÌA¢
Denk Küme: Eleman sayıları aynı olan kümelere denk küme denir.
Eşit Küme: Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir.
Ayrık Küme: Ortak elemanı olmayan kümelere denir.
B
İRLEŞİM İŞLEMİ
İki kümenin birleşim işlemi bütün elemanların bir küme içinde belirtilmesi ile oluşur. Aynı elemanlar iki kere tekrarlanmaz.
ÖZELL
İKLER
A È A = A (Tek kuvvet özelliği)
A È B = B È A ( Değişme özelliği)
A È ( B È C) = ( A È B ) È C (Birleşme özelliği)
A È Æ = Æ È A = A (Etkisiz eleman Æ)
A Ì B Ş A È B = B’ dir
A È B = Æ Û A = Æ ve B = Æ
A ile B ayrık kümeler ise s( A È B ) = s( A ) + s( B )
A ile B ayrık kümeler değil ise s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B )
KES
İŞİM İŞLEMİ
İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.
ÖZELLİKLER
1-)A∩A=A
2-)A∩B=B∩A
3-)A∩(B∩C)=(A∩C)∩C
4-)A∩ø=ø∩A=ø (YUTAN ELEMAN ø DİR)
5-)AÌBŞA∩B=A
6-)A∩B =øŞA=ø VEYA B=ø VEYA A İLE B AYRIKTIR.

DAĞILMA ÖZELLİĞİ
1-)A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
***(A∩B)U(A∩B’)=A∩(BUB’)
E
=A∩E
=A
2-)AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)
3-) DE MORGAN KURALI
a)(AUB)’=A’∩B’
b)(A∩^B)’=A’UB’

FARK İŞLEMİ
Tanım:A veB kümeleri verilsin .a’nın elemanı olup b’nin elemanı olmayan elemanların kümesine a fark b kümesi denir ve A-Bveya a\b ile gösterilir.
A-B A∩B B-A
SONUÇ:
1-)S(AUB)=s(AUB) +S(A∩B) +S(B-A)
2-)A-B=A∩B’
Fark İşleminin Özellikleri:
1-)A-A=ø
2-)Ø-A=ø
3-)A-ø=A
4-)A-B¹B-A
5-)E-A=A’
3 KÜMENİN BİRLEŞİM KÜMESİNİN BULUNMASI

s(AUBUC)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A∩B)-s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)
N elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin bulunması
=========================

Doğruluk değeri aynı olan önermelere DENK ÖNERMELER denir.
Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen önermeye O ÖNERMENİN OLUMSUZU denir.Simgesi
(p’) dir.
En az iki önermenin V(veya) ,L(ve),Ş(ise),Û(ancak ve ancak ise) bağlaçlarıyla birleştirilerek oluşturulan öner-
melere BİRLEŞİK ÖNERME denir.

P ve q önermeleri verilsin .En az biri doğru iken doğru, ikisi de yanlış iken yanlış olan önermedir .p V q (p veya q)
P
q
p V q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0

pLq önermeleri verilsin. Her ikisi de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlış olan önermelerdir.pLq (p ve q)

p
q
p Lq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
t p
q
p’
q’
p vq
pLq
p’vq’
p’Lq’
p’vq
p’Lq
pvq’
pLq’
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1-)P V P ºP (v nin tek kuvvet özelliği)
2-)P LP ºP(L nin tek kuvvet özelliği)
3-)P V qºqVp/(V nin değişme özelliği)
4-)PLqº q Lp(L nin değişme özelliği)
5-)P V (q V r) º ( p Vq ) Vr (V nin birleşme özelliği)
6-)p L (q Lr) º(pLq) Lr(L nin birleşme özelliği)
7-)p V (q L r) º (p V q) L (p V r )(V nin L üzerinde dağılma özelliği)
8-)p L(q V r) º (p Lr ) V ( q L r) ( L nin V dağılma özelliği)
9-)( p V q)’ º p’Lq’ DE MORGAN
10-)( P L q)’ º p’ V q’ KURALI

Bir bileşik önerme kendisini oluşturanönermelerin her değeri için daima doğru ise Totoloji , daima yanlış ise çelişme denir.

p
P’
Pvp’
pLp’
1
0
1
0
0
1
1
0

Totoloji Çelişme
ÖZELLİKLER:1-)PV1º1
2-)PV0ºP
3-)PL0º0
4-)PL1ºP
5-)PVP’º1
6-)PLP’º0

(
Ş) İSE BAĞLACI
İki önermenin ise (Ş) ile birleştirilmesiyle oluşan önermelerdir.Bu öneermelere KOŞULLU ÖNERME denir.Koşullu önermenin değeri 1 ise GEREKTİRME adını alır.
PŞq (p ise q )şeklinde gösterilir.P nin doğru q nun yanlış olduğu durumlarda yanlış , diğer durumlarda doğrudur.

p
q
PŞq
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1

p=q NIN KARŞITI, TERSİ VE KARŞIT TERSİ
BİR PŞQ koşullu önermenin karşıtı qŞp koşullu önermesidir.
pŞq koşullu önermenin tersi p’Şq’koşullu önermesidir.
pŞq koşullu önermenin karşıt tersi q’Şp’ koşullu önermesidir.
p=q İSE BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
1-)P=Qºq’=p’
2-)p=qº p’vq
3-)p=pº1
4-)p=1º1
5-)p=0ºp’
6-)1=pºp
7-)o=pº1
8-)p=p’ºp’
9-)p=pºp
10-)p=q¹q=p
11-)p=(q=r)¹(p=q)=r(birleşme özelliği yok)