Blade
![ADMİN ADMİN](https://2img.net/h/i412.photobucket.com/albums/pp209/shadow6797/hadmin.gif)
![avatar](https://2img.net/r/ihimizer/img178/1731/avataryok.gif)
Uyari Seviyesi : ![uyari yok uyari yok](https://i.servimg.com/u/f69/13/09/95/49/warn110.png)
Mesaj Sayısı : 3630
Rep Puanı : 1007
Aktiflik Puanı : 111782
Kayıt Tarihi : 23/06/10
Cinsiyet : ![Erkek Erkek](https://2img.net/s/t/11/01/79/i_icon_gender_male.gif)
Kullanıcı Aktifligi Basari :
![Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral Imgleft](https://2img.net/r/ihimizer/img26/5592/imgleft.gif) ![3/3](https://2img.net/r/ihimizer/img26/5646/24168722.gif ) ![Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral Emptybarbleue](https://2img.net/r/ihimizer/img26/3247/emptybarbleue.jpg ) (3/3) Seviye:
![Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral 24168722](https://2img.net/r/ihimizer/img26/5646/24168722.gif) ![1/1](https://2img.net/r/ihimizer/img26/5128/expf.gif) ![Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral Emptybarbleue](https://2img.net/r/ihimizer/img26/3247/emptybarbleue.jpg) (1/1) Güçlülük:
![Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral Imgleft](https://2img.net/r/ihimizer/img26/5592/imgleft.gif) ![1/1](https://2img.net/r/ihimizer/img26/1586/16653166.gif) ![Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral Emptybarbleue](https://2img.net/r/ihimizer/img26/3247/emptybarbleue.jpg) (1/1)
![Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Konu: Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral Salı Ekim 19 2010, 17:11 | |
| Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral
FONKSİYON
TANIM: A ve B gibi boş olmayan iki küme için, A nın her elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına A ‘dan B’ye FONKSİYON denir.
Kısaca, A’dan B’ye bir bağıntının fonksiyon olması için,
a) x A için (x, y) f olacak biçimde y B olmalı.
b) A kümesinin bir elemanı B kümesinin birden fazla elemanı ile eşlenemez.
A kümesinin f fonksiyonunun TANIM KÜMESİ ve B kümesine f fonksiyonunun DEĞER KÜMESİ denir.
f fonksiyonu x A’yı y B’ye eşliyorsa y’ye x’in görüntüsü denir ve f: x y veya y = f (x) biçiminde gösterilir.
TERS FONKSİYON: f: A B ye, f: x y = f (x) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olsun. B A ya ve y x fonksiyonuna f in tersi denir ve f-1 şeklinde gösterilir.
f: A B f-1 : B A f: x y = f (x) f-1 : y x = f-1(y)
ÖRNEKLER: 1. f: R R, f (x) = x + 5 ise f-1(x) nedir? Çözüm:
2. R+ R ye f (x) = x2 + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz (x > 0) Çözüm:
BİLEŞKE FONKSİYON: f: A B ve g: B C birer fonksiyon ise A’daki her elemanı f ve g fonksiyonları ile C’nin elemanlarına dönüştüren fonksiyon f ile g’nin bileşkesi denir.
ÖZELLİKLERİ: 1) fog gof 2) (fog)oh = fo(goh 3) fof-1 = f-1 of = I ( I birim fonksiyon) 4) foI = Iof = f 5) (f-1)-1 = f 6) (fog)-1 = g-1of-1 7) (fogoh)-1 = h-1 o g-1 o f-1
fog = h f = hog-1 ve g = f-1 o h
ÖRNEKLER: 1. R R’ye iki fonksiyon, f (x) = 2x – 1 ve g (x) = x + 1 ise (gof)( - 1) nedir? Çözüm: (gof)(- 1) = g(f(- 1)) = g(2.(- 1) – 1 ) = g(- 3) = - 3 + 1 = - 2 2. f ve g : R R’ye f (x) = 3x + 2 ve g(x) = ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulun. Çözüm:
3. f ve g : R R’ye f (x) = 2x + 1 ve (gof) (x) = 3x + 2 ise, g(x) nedir? Çözüm: (gof of-1)(x) = (3x + 2) of-1
g (x) = (3x + 2) of-1 f (x) = 2x + 1 f-1 (x) = dir.
4. f ve g : R R’ye f (x) = ve (fog)(x) = 6x + 1 ise g(x) = ? Çözüm: (f-1o fog)(x) = f-1 o (6x + 1) g (x) = f-1 o(6x + 1) f (x) = g (x) = (3x + 1) o (6x + 1) g (x) = 3. (6x + 1) + 1 = 18x + 4 5. f ve g : R R’ye (gof-1) (x) = ve g-1 (x) = 3x – 1 ise f (x) nedir? Çözüm: (g-1ogof)(x) = g-1 o
LİMİT BİR FONKSİYONUN LİMİTİ TANIM A R ve f: A – {xo} R ‘ye bir fonksiyon F(x) olsun. x değişkeni xo R sayısına yaklaştığında f(x) fonksiyonu da t R’ye yaklaşıyorsa t gerçel sayısına x, xo’a yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti denir ve lim f(x) = t x xo şeklinde gösterilir.
SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT: SAĞDAN LİMİT: y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sağ taraftan yaklaşırken f de bir t1 R değerine yaklaşıyorsa t1’e fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim f(x) = t1 biçiminde x x+o gösterilir.
SOLDAN LİMİT: y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sol taraftan yaklaşırken f de bir t2 R değerine yaklaşıyorsa t2 ye fonksiyonun soldan limiti denir ve lim f(x) = t2 x x-o
ÖRNEK: x2 + 1, x 0 ise, x + 1 , x < 0 ise,
fonksiyonun x = 0 noktasında limiti nedir?
ÇÖZÜM: lim f(x) = lim (x2 + 2) = 02 + 1 = 1 x 0+ x 0+
lim f(x) = lim (x + 1) = 0 + 1 = 1 x 0- x 0-
O halde lim f(x) = 1 dir. x 0
LİMİT TEOREMLERİ:
1) lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x0 x x0 x x0
2) lim (f(x).g(x)) = lim f(x).lim g(x) x x0 x x0 x x0
3) lim c = c (c R) x x0
4) lim (c.f(x)) = c . lim f(x) x x0 x x0
5) g(x) 0 ve lim g(x) 0 ise x x0
6) n N+ olmak üzere
7) n tek doğal sayı ise,
n çift doğal sayı ve f(x) 0 ise
BELİRSİZLİKLER VE LİMİTLERİ
A) BELİRSİZLİĞİNİN LİMİTİ:
ÖRNEK:
ifadesinin değeri nedir?
ÇÖZÜM:
B) BELİRSİZLİĞİN LİMİTİ:
ÖRNEK:
limitinin değeri nedir?
ÇÖZÜM:
Payın derecesi paydadan büyük olduğundan
ÇÖZÜMLÜ TEST
1. değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
Çözüm 1.:
dır. O halde,
Cevap: B
2. limitinin değeri nedir?
A) B) C) D) E)
Çözüm 2.:
Cevap: C
TÜREV VE UYGULAMALARI
TANIM: y = f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli, x0 (a,b) olsun.
limiti bir gerçel sayı ise,
bu limite y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki TÜREVi denir ve f’(x0) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
f : R R, f(x) = -x2 + 2 fonksiyonunun x0 = 1 noktasındaki türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f(1) = - 12 + 2 = 1 f’(1)
NOT:
ÖRNEK:
f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu verilir.
a) f’(2) = ? b) f’(1) = ?
ÇÖZÜM:
a) f (2) =|22 – 4| = 0 olduğu için fonksiyonun x = 2 noktasında türevi yoktur.
b)
TÜREV ALMA KURALLARI:
1) c R olmak üzere f (x) = c f’(x) = 0 2) f (x) = x f’(x) = 1 3) f (x) = cx f’(x) = c 4) f (x) = c . xn f’(x) = c . n . xn-1 5) f (x) = c . un f’(x) = c . n . un-1 . u’x 6) f (x) = u v f’(x) = u’x v’x 7) f (x) = u . v f’(x) = u’x . v + v’x . u
f (x) = u . v . t f’(x) = u’x . v. t + v’x . u . t + t’x . u . v 9) f (x) = 10) f (x) =
ÖRNEKLER: 1. f (x) = 5 f’(x) = 0 2. f (x) = f’(x) = 0 3. f (x) = x5 f’(x) = 5x4 4. f (x) = x f’(x) = 1 5. f (x) = 2x f’(x) = 2 6. f (x) =
7. f (x) = x4 – x3 + 2x – 3 fonksiyonunun türevi nedir? ÇÖZÜM: f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2
8. f (x) = (3x2 + 5)11 fonksiyonunun türevi nedir? ÇÖZÜM: f’(x) = 11 (3x2 + 5)10 . (3x2 + 5)’ = 11(3x2 + 5)10 . 6x = 66x (3x2 + 5)10
9. f (x) = fonksiyonunun türevi nedir? ÇÖZÜM:
olur.
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ: A) 1) f (x) = Sinx f’(x)=Cosx 2) f (x) = Cosx f’(x) = - Sinx 3) f (x) = tanx f’(x) = 1 + tan2x
4) f (x) = Cotx f’(x) = - (1 + Cot2x)
ÖRNEKLER: 1. f (x) = Secx f’(x) = ? ÇÖZÜM:
2. f (x) = Cosec f’(x) =? ÇÖZÜM:
B. 1) f (x) = Sin[u[x]] f’(x) = u’(x) . Cos[u(x)] 2) f (x) = Cos [u(x)] f’(x) = - u’(x) . Sin [u(x)] 3) f (x) = tan [u(x)] f’(x) = u’(x) [1 + tan2u(x)]
4. f (x) = Cot[u(x)] f’(x) = -u’(x) [1 + Cot2u(x)]
ÖRNEKLER: 1. f (x) = Sin3x f’(x) = 3Cos3x 2. f (x) = tan(x2 – 1) f’(x) = ? ÇÖZÜM: f’(x) = (x2 –1)’ . [1 + tan2(x2 – 1)] f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)] 3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir? ÇÖZÜM: f’(x) = Cos (tanx) . (tanx)
4. f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x f’(x) = ? ÇÖZÜM: f’(x) = 2.3.Sin2x . (Sin x)’ + 3.2 Cosx . (Cosx)’ f’(x) = 6Sin2x . Cosx + 6 Cosx . ( - Sin x)
İNTEGRAL TANIM: f: [a,b] R ve F:[a, b] R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir. F’(x) dx = F(x) veya f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK: f (x) = 2x2 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2 f (x) = 2x2 – 1 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2 – 1 f (x) = 2x2 + 3 f’(x) = 4x 4xdx =2x2 + 3
BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ: A. f’(x) dx = f(x) + C B. d[f (x)] = f (x) + C C. f (x)dx = f (x) dx ( R) D. [f (x) g(x)] dx= f(x) dx g (x)dx E. [ f (x) dx] = f (x) F. d[ f (x)dx] = f(x) dx
ÖRNEKLER: 1. 2x dx = x2 + C 2. d(3x2) = 3x2 + C 3. 5x4dx = 5 x4dx 4. (x3 + x)dx = x3 dx + x dx 5. [ 2x dx] = 2x 6. d (x3dx) = x3dx
ÖRNEKLER: 1. 2. 12dx = 12x + C 3. 4. (x3 + x2 – 2)2 (3x2 + 2x)dx = ? ÇÖZÜM 4: x3 + x2 – 2 = u (3x2 + 2x) dx = du
TRİGONOMETRİK İNTEGRAL: A. Cos x dx = Sin x + C B. Sin x dx = - Cosx + C C. Sec2x dx = (1 + tan2x) dx
D. Cosec2x dx = (1 + Cot2x) dx = =
ÖRNEKLER: 1. Cos2x . Sin x dx = ÇÖZÜM: Cosx = u -Sin x dx = du Sin x dx = - du u2 . (-du) = - u2 . du
2. Sin 3x dx = ? ÇÖZÜM:
3. Cos (2x + 1) dx = ? ÇÖZÜM:
LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL: A. B. C. eu du = eu + C D.
ÖRNEKLER: 1. 2. tan x dx = ? ÇÖZÜM:
Cos x = u - Sin x dx = du Sin x dx = - du
= - ln |u| + C = - ln |Cos x| + C 3. ex dx = ex + C | |
|